Funciones Biyaectivas

  Una función f entre los conjuntos A y B se dice que es biyectiva, cuando es, a un tiempo, inyectiva y suprayectiva.
Ejemplo: Sea f :A −→ B tal que A = B = R y f(x) = 2x − 3, ∀x ∈ A. ¿Es biyectiva?
Solución
Veamos si es inyectiva y suprayectiva.
(a) Inyectiva. Sean x1 y x2 dos n´umeros reales arbitrarios. Entonces,
f(x1) = f(x2) =⇒ 2x1 − 3 = 2x2 − 3 =⇒ 2x1 = 2x2 =⇒ x1 = x2
luego f es inyectiva.

(b) Suprayectiva. Sea y cualquiera de B. Entonces,
y = 2x − 3 ⇐⇒ 2x = y + 3 ⇐⇒ x = y + 3 /2
luego tomando x = y + 3 / 2, se verifica que x ∈ A y
f(x) = f (y + 3) /2 = (2) ((y + 3) / 2) − 3 = y

Consecuentemente,
∀y ∈ B, ∃x ∈ A : f(x) = y              o sea, f es suprayectiva. Por ser inyectiva y suprayectiva, f es biyectiva.